填空题
第 167 / 311 题
已知正实数 $x,y,z$ 满足 $x+\ln x = y+e^y = e^z+\ln z = 5$，则（ ）
A. $x<y$ B. $y>z$ C. $\ln x+y>5$ D. $e^y+z>5$
📖 解析
由 $x+\ln x=y+e^y=e^z+\ln z=5$ 得 $\ln x=5-x$，$e^y=5-y$，$\ln z=5-e^z$，如图所示：由图知 $y<z<x$，故 A、B 选项错误（也可通过 $y=x$，$y=e^x$，$y=\ln x$ 图象的变化速度判断 $x,y,z$ 的大小关系）。由 $\begin{cases} y=x \\ y=5-x \end{cases}$ 得 $P(\frac52,\frac52)$。$y=e^x$ 和 $y=\ln x$ 关于 $y=x$ 对称，$A(y,e^y)$ 和 $B(x,\ln x)$ 关于 $P(\frac52,\frac52)$ 对称，$\therefore x+y=5$ 且 $\ln x=y$，$\ln x+y=2y<5$，故 C 选项错误；$e^y=x$，$e^y+z=x+z>x+y=5$，故 D 选项正确。