填空题
第 306 / 311 题
如图，$O$为$△ABC$中$BC$边的中点，过点$O$的直线与$AB,AC$所在直线分别交于点$M,N$，满足$\overrightarrow{AB}=m\overrightarrow{AM}$，$\overrightarrow{AN}=n\overrightarrow{AC}$，$(m>0,n>0)$，若$mn=\frac{3}{2}$，则$m+n$的值为____________．
📖 解析
连接$AO$，由$M,O,N$三点共线可设$\overrightarrow{AO}=x\overrightarrow{AM}+(1−x)\overrightarrow{AN}$，结合$\overrightarrow{AB}=m\overrightarrow{AM}$，$\overrightarrow{AN}=n\overrightarrow{AC}$及$\overrightarrow{AO}=\frac{1}{2}\overrightarrow{AB}+\frac{1}{2}\overrightarrow{AC}$，得$m=2−\frac{1}{n}$，由$mn=\frac{3}{2}$解得$n=\frac{5}{4},m=\frac{6}{5}$，故$m+n=\frac{49}{20}$.