填空题
第 37 / 311 题
在 $\triangle ABC$ 中，$\overrightarrow{AB} \cdot \overrightarrow{AC} = 2$，$\overrightarrow{BA} \cdot \overrightarrow{BC} = 3$，$\overrightarrow{CA} \cdot \overrightarrow{CB} = 6$，则 $\triangle ABC$ 的面积为 _________。。
📖 解析
设 $\overrightarrow{AB}=\vec{c}$，$\overrightarrow{AC}=\vec{b}$，则 $\overrightarrow{BC}=\vec{b}-\vec{c}$。由已知 $\vec{b}\cdot\vec{c}=2$，$\overrightarrow{BA}\cdot\overrightarrow{BC}=(-\vec{c})\cdot(\vec{b}-\vec{c}) = -\vec{b}\cdot\vec{c}+|\vec{c}|^2 = 3$，得 $|\vec{c}|^2=5$；$\overrightarrow{CA}\cdot\overrightarrow{CB}=(-\vec{b})\cdot(\vec{c}-\vec{b}) = -\vec{b}\cdot\vec{c}+|\vec{b}|^2 = 6$，得 $|\vec{b}|^2=8$。则 $\cos A = \frac{\vec{b}\cdot\vec{c}}{|\vec{b}||\vec{c}|} = \frac{2}{\sqrt{40}} = \frac{1}{\sqrt{10}}$，$\sin A = \frac{3}{\sqrt{10}}$。面积 $S = \frac12 |\vec{b}||\vec{c}|\sin A = \frac12 \times \sqrt{40} \times \frac{3}{\sqrt{10}} = \frac12 \times 2\sqrt{10} \times \frac{3}{\sqrt{10}} = 3$。