解答题
第 15 / 263 题
已知函数 $f(x) = \cos(2x - \frac{\pi}{4})$。
(1) 求 $f(x)$ 的单调递增区间；
(2) 将 $f(x)$ 的图象向左平移 $\frac{\pi}{8}$ 个单位，得到函数 $g(x)$ 的图象，求 $g(x)$ 的对称中心坐标。
📖 解析
(1) 令 $2x-\frac{\pi}{4}\in[-\pi+2k\pi,\ 2k\pi]$，解得 $x\in[k\pi-\frac{3\pi}{8},\ k\pi+\frac{\pi}{8}]$。
(2) 平移后 $g(x)=\cos[2(x+\frac{\pi}{8})-\frac{\pi}{4}]=\cos(2x)$，其对称中心为 $(\frac{\pi}{4}+\frac{k\pi}{2},\ 0)$？实际上 $\cos(2x)$ 的对称中心：$2x=\frac{\pi}{2}+k\pi$，$x=\frac{\pi}{4}+\frac{k\pi}{2}$，对称中心 $(\frac{\pi}{4}+\frac{k\pi}{2},0)$。但注意化简：$\cos[2(x+\frac{\pi}{8})-\frac{\pi}{4}] = \cos(2x+\frac{\pi}{4}-\frac{\pi}{4})=\cos(2x)$，正确。所以对称中心 $(\frac{\pi}{4}+\frac{k\pi}{2},0)$。但常见写法为 $(\frac{\pi}{4}+\frac{k\pi}{2},0)$，即 $(\frac{(2k+1)\pi}{4},0)$。题目答案可写 $(\frac{\pi}{4}+\frac{k\pi}{2},\ 0)$。我重新确认：$\cos u$ 对称中心横坐标 $u=\frac{\pi}{2}+k\pi$，则 $2x=\frac{\pi}{2}+k\pi$，$x=\frac{\pi}{4}+\frac{k\pi}{2}$。正确。