函数 $f(x)$ 在 $x=0$ 处的 $[m,n]$ 阶帕德逼近定义为：$R(x)=\dfrac{a_0+a_1x+\dots+a_mx^m}{b_0+b_1x+\dots+b_nx^n}$（$m,n\in\mathbb{N}$），且满足 $R(0)=f(0)$，$R'(0)=f'(0)$，$R''(0)=f''(0)$，…，$R^{(m+n)}(0)=f^{(m+n)}(0)$．已知函数 $...
如图，直四棱柱 $ABCD-A_1B_1C_1D_1$ 中，$\triangle ACD$ 是边长为 $2\sqrt3$ 的等边三角形，$BB_1=AB=3$，$\angle ACB=\dfrac{\pi}{3}$，棱 $AD$ 的中点为 $F$．
（Ⅰ）求证：$AD\perp$ 平面 $AA_1B_1B$；
（Ⅱ）矩形 $BCC_1B_1$ 以边 $BB_1$ 所在直线为旋转轴，逆时针旋转 $\...
已知椭圆 $C:\dfrac{x^2}{a^2}+\dfrac{y^2}{b^2}=1$（$a>b>0$）的离心率为 $\dfrac{\sqrt3}{2}$，且过点 $M(-2,0)$．
（Ⅰ）求椭圆 $C$ 的标准方程；
（Ⅱ）已知 $A,B$ 为椭圆 $C$ 上异于点 $M$ 的两点，且 $MA\perp MB$，$MN\perp AB$，点 $N$ 为垂足，求证：直线 $AB$ 过定点 $D...
DeepSeek 是由中国杭州的 DeepSeek 公司开发的人工智能模型．为提高 DeepSeek 的应用能力，某公司组织 A，B 两部门的 $50$ 名员工参加 DeepSeek 培训．
（Ⅰ）此次 DeepSeek 培训的员工中共有 $6$ 名部门领导参加，恰有 $3$ 人来自 A 部门．从这 $6$ 名部门领导中随机选取 $2$ 人，记 $X$ 表示选取的 $2$ 人中来自 A 部门的人数...
已知等差数列 $\{a_n\}$ 的公差 $d>0$，且满足 $a_1a_5=64$，$a_3=10$，记 $S_n$ 是数列 $\{b_n\}$ 的前 $n$ 项和，且满足 $S_n=2b_n-1$．
（Ⅰ）求数列 $\{a_n\}$ 的通项公式；
（Ⅱ）令 $c_n=a_n+b_n$，求数列 $\{c_n\}$ 的前 $n$ 项和 $T_n$．
双曲线的光学性质：从双曲线的一个焦点发出的光线，经双曲线反射后，反射光线的反向延长线经过双曲线的另一个焦点．已知 $F_1,F_2$ 分别为双曲线 $C:\dfrac{x^2}{a^2}-\dfrac{y^2}{b^2}=1$（$a>0,b>0$）的左、右焦点，过右支上一点 $A$ 作双曲线 $C$ 的切线与 $x$ 轴交于点 $P$，设 $I$ 为 $\triangle AF_1F_2$ 的内心...
已知复数 $z_1$ 满足 $|z_1-1|=|z_1-\mathrm{i}|$，复数 $z_2$ 满足 $|z_2-4|=2$，则 $|z_1-z_2|$ 的最小值为 ．
已知 $\tan\theta+\dfrac{1}{\tan\theta}=3$，则 $\sin2\theta=$ ．
牛顿在《流数法》一书中，给出了高次代数方程根的一种解法——牛顿法．已知函数 $f(x)=x^3+x-1$，$r$ 是函数 $y=f(x)$ 的一个零点，取 $x_0=1$，则下列说法正确的是（ ）
已知函数 $f(x)=|\sin x|+|\cos x|$，则下列说法正确的是（ ）
在 $\left(\dfrac{5}{2x}-\dfrac{x}{2}\right)^5$ 的展开式中，则（ ）
以"冰雪同梦 亚洲同心"为主题的第九届亚冬会于2025年2月7日在哈尔滨盛大开幕．理论上，一片雪花的周长可以无限长，围成雪花的曲线称作"雪花曲线"，又称"科赫曲线"．它可以这样画：如图，画一个边长为 $1$ 的正三角形 $P_1$；第一步，把每一边三等分；第二步，取三等分后的一边中间的一段，以此为边向外作正三角形，并把这中间的一段擦掉，形成雪花曲线 $P_2$；重复上述两步，形成雪花曲线 $P3...